まず、０と１という二つの値が半々の確率であらわれる、もっとも単純な試行（ベルヌイ試行）から考えていく。乱数発生器から生成される値はふつう０と１が半々で、ベルヌイ試行の典型例でもある。コインを投げて、表が出れば「１」、裏なら「０」としてもいいし、サイコロの偶数を「０」、奇数を「１」としてもいい。
この、半々の確率を、わざと行列のように描くと
となる。これは、この試行を１回行ったときに「１」が出る回数、と読み替えることもできる。（「０」が出る回数でも同じことなのだが、ここでは仮に「１」が出る回数のほうで話を進める。）
一般に、この試行をｎ回繰り返した場合、「１」がｘ回出る確率を考えてみる。上の式はn=1の場合で、さらにn=2, 3, 4の場合を列挙すると
???? 
という形になる。このあたりから、一般的なパターンを類推してみる。
たとえば、４回の試行、n=4で、「１」が1回も出ない、つまり０回出る、x=0の場合、４回の試行のパターンは
(0, 0, 0, 0)
の１通りしかない。
次に、「１」が1回だけ出る、x=1の場合、試行パターンは、１が最初に出るか、２回目に出るか、３回目か、最後か
(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)
の４通りがありうる。
さらに、x=2の場合になると、全部を列挙するのは難しくなってくるので、すこし具体的に、1と印刷された２枚のカードと、0と印刷された２枚のカードの、合計４枚を並べる場合の数を考えると、
４！＝４・３・２・１＝24通りになる。
しかし、１と印刷された２枚のカードのどちらが先に来るかは区別しないので、この値を、その並べかたの場合の数
２！＝２・１＝２
で割り、さらに０と印刷された２枚のカードのどちらが先に来るかも区別しないので、その並べかたの場合の数
２！＝２・１＝２
でも割る必要がある。したがって、x=2の場合の試行パターンは、
通りとなる。
ここから議論を一般化すると、ｎ回の試行で「１」がｘ回出る場合の数は、カードの比喩でいうと、ｎ枚全部を並べる場合の数がｎ！で、これを、ｘ枚の「１」の並び順、ｘ！と、残りの(n-x)枚の「０」の並び順、(n-x)!の両方で割った数で、式にまとめると
通りとなる。
そして、ｎ回の試行で「１」がｘ回出る確率は、ひとつひとつの確率と場合の数をかけ合わせて
となる。これが、二項分布 binomial ditribution である。また、ｎ回の試行で「１」がｘ回「以下」出る確率は、0回からk回までの各々の確率を足し合わせたもので、
となる。